Eigentlich gelten Mathematikerinnen und Mathematiker als nüchterne Zeitgenossen, rational, vielleicht ein wenig verkopft. Schließlich widmen sie ihr Leben Zahlen und Axiomen. Jede offene Frage ihres Fachs, so scheint es für Außenstehende, lässt sich sachlich debattieren und eindeutig beantworten.
Doch vor 150 Jahren entbrannte unter den Gelehrten ein Glaubensstreit, der die Mathematik in zwei Lager teilte. Fachmagazine wurden zum Schweigen gebracht, Forscher geächtet, Karrieren beendet.
Was die Gelehrten in Rage brachte, war nichts weniger als die Unendlichkeit. Einige glaubten, eine unermessliche Vielfalt von Unendlichkeiten entdeckt zu haben. Andere wollten jede Rede über die Unendlichkeit aus der Mathematik verbannen.
Der Streit war ein Wendepunkt in der Mathematik, der bis heute nachhallt und selbst in jüngster Zeit noch zu unerwarteten Entdeckungen geführt hat.
Lange Zeit herrschte die Furcht vor dem Unendlichen: der "Horror Infiniti" ( Schrecken vor dem Unendlichen).
Auslöser des Ärgers war ein Deutscher namens Georg Cantor.
Als Erster brach er in den 1870er-Jahren zum Horizont der Mathematik auf, stieß in den Bereich jenseits des Endlichen vor: ins "Transfinite" (Was ist eine transfinite Zahl? - Eine transfinite Zahl ist jede Zahl, die größer ist als alle natürlichen Zahlen. Sie existieren nicht in der alltäglichen Arithmetik, wohl aber in Systemen wie Ordinalzahlen oder Hyperreellen Zahlen. „Transfinit“ bedeutet einfach „jenseits von endlich“..
Was er entdeckte, erschien seiner Kollegenschaft ungeheuerlich. Denn Cantor behauptete: Es existiert nicht nur eine Unendlichkeit, sondern es existieren viele, und manche sind größer als andere.
Bis dahin hatten sich Mathematiker von solchen Überlegungen ferngehalten, ja die sonst so nüchternen Denker waren bis in die Neuzeit in einer regelrechten Furcht vor dem Unendlichen gefangen: dem "Horror Infiniti". Wenn es denn überhaupt existiere, übersteige das Unendliche unseren Verstand, glaubten viele Gelehrte.
Der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845–1918) wurde lange für seine Erkenntnisse angefeindet, zu revolutionär waren sie für seine Zeit.
Zenon von Elea dachte im 5. Jahrhundert v. Chr. über das Unendliche nach und fand nur Widersprüche.
In seiner Geschichte von Achilles läuft der Held einer Schildkröte hinterher. Wann wird er sie einholen?
Niemals, so Zenons Ergebnis, wenn man die Verfolgungsjagd in unendlich viele Abschnitte einteilt. Im ersten Abschnitt verkürzt Achilles den Abstand auf die Hälfte, im zweiten auf ein Viertel, dann auf ein Achtel. Zwar kommt er dem Kriechtier immer näher. Doch da er unendlich viele Abschnitte laufen müsse, erreiche er es nie.
Ein offensichtlich absurdes Resultat.
Zenon war daher überzeugt: Das Unendliche habe keinen Platz in unserem Denken und in der Welt!
Selbst der vielleicht größte Mathematiker aller Zeiten, Carl Friedrich Gauß, hielt die Unendlichkeit für eine bloße Redeweise. Er schrieb 1831: "So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer vollendeten, welches in der Mathematik niemals erlaubt ist." In Wahrheit sei alles, worüber ein Mathematiker reden dürfe, endlich.
Erst Georg Cantor, in den 1870er-Jahren Professor in Halle, brach das Tabu. Er wagte es, mit dem Unendlichen zu rechnen. Er bildete damit Theorien, bewies Aussagen, ähnlich wie mit endlichen Zahlen.
Cantor wurde verlacht, seine Arbeit als Humbug verrissen. Doch seinem Vorstoß in die Unendlichkeit folgten weitere Generationen. Sie bauten seine Erkenntnisse zu nichts weniger als einer Weltformel der Mathematik aus.
Alles, was die Mathematik behandelt, Zahlen und Geometrien, ja alle Mathematik, die es je gab und je geben wird, kommt in Cantors Theorie vor. Ein historischer Triumph. Und doch gibt die Unendlichkeit Mathematikerinnen und Mathematikern bis heute Rätsel auf.
Eine Weltformel der Mathematik
Cantors Expedition begann mit einer Frage: Ist Unendlichkeit immer gleich groß? Auf diese Frage stieß er, als er über "Mengen" nachdachte – so nennen Mathematiker es, wenn sie etwa Zahlen zu Gruppen zusammenfassen. Ein Beispiel für eine Menge ist die Gesamtheit der ungeraden Zahlen: 1, 3, 5, ... Ein anderes Beispiel ist die Menge der geraden Zahlen: 2, 4, 6 ... Da es unendlich viele solcher Zahlen gibt, sind beide Mengen unendlich groß.
Spannend wird es beim Blick auf die Menge der natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4, ... Intuitiv wirkt sie doppelt so groß wie die anderen beiden, denn sie setzt sich aus den zwei Mengen zusammen. Andererseits ist unendlich mal zwei einfach wieder nur: unendlich. Ist es da überhaupt sinnvoll zu sagen, eine Unendlichkeit sei größer als die andere?
Um diese Frage zu beantworten, suchte Cantor einen Weg, die Mengen gegeneinander abzuwägen. Im Alltag würde man einfach zählen: etwa, wie viele Äpfel in einer Kiste liegen, wie viele in einer zweiten – und dann vergleichen, ob die beiden Ergebnisse gleich groß sind. Doch die Methode Zählen stößt in der Unendlichkeit an ihre Grenze.
Cantor nahm daher einen anderen Weg: Er betrachtete zwei Mengen als gleich groß, wenn man ihre Elemente einander eins zu eins zuordnen kann, sie miteinander "verpaaren" kann.
Im Beispiel mit den Äpfeln bedeutet das: Nimmt man zugleich einen Apfel aus der linken und einen aus der rechten Kiste, dann sind diese einander zugeordnet oder verpaart. Dieses paarweise Herausnehmen und Zuordnen macht man so lange, bis eine Kiste leer ist. Ist dann auch die andere Kiste leer, waren die Mengen gleich groß. Selbst ein Kind, das noch nicht zählen kann, könnte auf diese Weise bestimmen, ob zwei Mengen gleich groß sind. Mathematiker sagen dann, diese Mengen seien gleich "mächtig".
Die Methode lässt sich auch auf unendliche Mengen anwenden, etwa auf die Mengen der natürlichen und der geraden Zahlen: Aus beiden Mengen werden jeweils die kleinsten verpaart (1 und 2), die zweitkleinsten (2 und 4), die drittkleinsten (3 und 6) ... Dies lässt sich unendlich oft wiederholen. Alle Zahlen beider Mengen erhalten einen eindeutigen Partner; keine Zahl bleibt partnerlos. In diesem Sinne ist die Menge der natürlichen Zahlen gleich mächtig wie die Menge der gerade Zahlen – oder anders gesagt: Sie sind auf gleiche Art unendlich groß.
Wider Erwarten entdeckt Cantor: Es gibt mehr als eine Art von Unendlichkeit
Schon das ist verblüffend. Doch Cantor bewies einen noch erstaunlicheren Fall: Die Menge der rationalen Zahlen ist ebenso gleich groß. Rational sind all jene Zahlen, die sich durch einen Bruch darstellen lassen: 1/1, 1/2, 5/3 ... Allein zwischen 0 und 1 gibt es unendlich viele rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wirkt daher auf den ersten Blick viel größer als die der natürlichen. Und doch fand Cantor einen Weg, jeder rationalen Zahl eine natürliche Zahl zuzuordnen.
Cantors Entdeckung nährte die Vermutung, dass letztlich alle unendlichen Mengen gleich groß sind – dass es also nur eine Art von Unendlichkeit gibt. Doch dann stieß er auf eine unendliche Menge, bei der seine Methode versagte: die Menge der reellen Zahlen. Sie umfasst alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Nicht nur die rationalen, sondern auch die Lücken zwischen ihnen. In denen stehen unendlich lange Zahlen, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen, wie die Kreiszahl Pi oder die Wurzel von 2.
Die Kreiszahl Pi hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nie wiederholen. Da sich die Zahl nicht durch einen Bruch darstellen lässt, gehört sie zu den reellen Zahlen. Im Alltag sind nur wenige reelle Zahlen gebräuchlich, tatsächlich machen sie aber den Großteil aller Zahlen auf dem Zahlenstrahl aus
© Uwe Zucchi / picture alliance
In einem genialen Beweis zeigte Cantor, dass es nicht möglich ist, die reellen und die natürlichen Zahlen zu Paaren zu vereinen. Denn nach jedem Versuch lassen sich reelle Zahlen finden, sogar unendlich viele reelle Zahlen, die keinen Partner haben. Die unendliche Menge der reellen Zahlen ist also fundamental größer als die unendliche Menge der natürlichen oder der rationalen Zahlen. Kuriose Zahlen wie Pi sind nicht bloß Lückenfüller auf dem Zahlenstrahl – sie stellen die unendlich überwiegende Mehrheit.
Cantor bewies also, dass es verschieden große Formen der Unendlichkeit gibt. In einem weiteren Schritt zeigte er, dass es sogar unendlich viele Unendlichkeiten gibt, eine größer als die andere. Er lieferte eine Anleitung, wie sich immer gigantischere Unendlichkeiten entdecken lassen und wie sie sich ihrer Größe nach ordnen lassen, von "kleinen" Unendlichkeiten bis "großen" Unendlichkeiten.
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk"
Doch Cantors bahnbrechende Entdeckung führte zu einem Sturm von Anfeindungen. Treibende Kraft war Leopold Kronecker, der Cantor erbittert bekämpfte. Er wollte in der Mathematik nichts dulden, was sich nicht in endlich vielen Schritten aus den natürlichen Zahlen ableiten lässt. "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk", erklärte er. Schon die Annahme, dass es unendliche Mengen gebe, sei Gotteslästerung. Cantors Theorie sei nicht einmal eine schlechte mathematische Theorie, sagte er, sondern eben gar keine: "Ich weiß nicht, was in Cantors Theorie vorherrscht – Philosophie oder Theologie. Aber ich bin sicher, dass es in ihr keine Mathematik gibt."
In einer Hinsicht hatte Kronecker tatsächlich recht: Die Existenz des Unendlichen lässt sich mathematisch nicht beweisen. Mathematiker können nicht einmal beweisen, dass es die unendliche Menge der natürlichen Zahlen gibt. Sie müssen es voraussetzen.
Denn die Mathematik fußt auf wenigen Grundannahmen, Axiomen, aus denen Forschende ein gigantisches, in sich schlüssiges Universum aus Theorien ableiten. Doch welche Axiome zugrunde liegen, ist im Prinzip frei wählbar – bloß die daraus resultierenden Theorien sind unterschiedlich sinnvoll. Die Unendlichkeit in die Mathematik aufzunehmen ist ein bewusster Entschluss, dem heutzutage die allermeisten Fachleute dank Cantor zustimmen. Wenn die Unendlichkeit kein verrücktes Niemandsland ist, keine das Denken in Unordnung versetzende Fantasterei, sondern wenn sich mit der Unendlichkeit sinnvolle, logische, widerspruchsfreie Theorien und Aussagen erschaffen lassen: Dann gehöre die Unendlichkeit zur Mathematik.
Kronecker konnte sich also mit seiner Ansicht nicht durchsetzen, die Mengentheorie sei Theologie, aber keine Mathematik. Im Gegenteil: Die von Cantor entdeckte Mathematik des Unendlichen gilt heute als Fundament der Mathematik schlechthin. Was immer Menschen mit Formeln beschreiben oder definieren können, ob Zahlen, geometrische Formen oder Elementarteilchen, kommt als Element in Cantors Mengentheorie vor. In ihr steckt alle Mathematik, die es je gab und je geben wird.
Für weltliche Fragen ist Cantors Gedankengebäude allerdings viel zu groß. Physiker und Ingenieure brauchen für ihre Theorien und Konstruktionen höchstens seine untersten zwei Stockwerke: die "abzählbare Unendlichkeit" der natürlichen und rationalen Zahlen sowie die "überabzählbare Unendlichkeit" der reellen Zahlen.
"Superunendlichkeit" verblüfft selbst Koryphäen
Wie es in den oberen Stockwerken von Cantors Gebäude aussieht, wirft aber bis heute spannende Fragen für Mathematikerinnen und Mathematiker auf. So entdeckten die drei Mengentheoretiker Juan Aguilera, Joan Bagaria und Philipp Lücke im Jahr 2024 eine neue Art von "Superunendlichkeit", die sie "exakte Kardinalzahlen" nennen. Die drei Wissenschaftler zeigten, dass diese neu entdeckten unendlichen Zahlen das mathematische Universum fundamental verändern, denn manche mathematische Objekte lassen sich nachweisbar nicht vollständig von der mathematischen Sprache beschreiben.
Diese Entdeckung hat selbst die Koryphäen des Unendlichen überrascht. Das Reich der Mathematik ist noch weitaus mysteriöser und reichhaltiger, als selbst sie es vermuteten.
Andererseits gibt es immer noch Mathematikerinnen und Mathematiker, die in die entgegengesetzte Richtung argumentieren: die Ultrafinitisten. Sie bezweifeln nicht nur die Existenz der Unendlichkeit, sondern misstrauen sogar astronomisch großen, aber endlichen Zahlen wie 21000 – einer Zahl mit über 300 Stellen. Für sie ist eine Zahl nur dann "echt", wenn man sie prinzipiell aufschreiben oder in der physikalischen Welt realisieren könnte.
Die Blüten des Romanescos sind ein natürliches Beispiel für Fraktale: Objekte, die sich aus verkleinerten Kopien ihrer selbst zusammensetzen. In sie lässt sich theoretisch unendlich lange hineinzoomen, wobei der Anblick derselbe bleibt. In der Natur hingegen stößt man irgendwann auf die Ebene der Atome. Im Kosmos scheint unendlich Kleines ebenso wie unendlich Großes nicht realisiert zu sein
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Zum Vergleich: Um die Zahl aller Sekunden seit dem Urknall aufzuschreiben, reichen 17 Stellen, und um die Zahl aller Atome im sichtbaren Universum niederzuschreiben, sind nach einer Schätzung 89 Stellen nötig. Nichts in der physikalischen Welt scheint also so groß zu sein wie 21000. Existiert die Zahl dann wirklich? Kann sein, ist aber nicht sicher, würde ein Ultrafinitist antworten.
Eine radikal skeptische Position, die aber vernünftige Fragen aufwirft: Welche Mathematik können wir mit absoluter Gewissheit betreiben? Was bedeutet es eigentlich, dass eine Zahl "existiert"? Während die meisten Forschenden solche Skrupel als übertrieben abtun und munter in der Welt der Unendlichkeiten forschen, erinnern die Ultrafinitisten daran, dass selbst die grundlegendsten Annahmen der Mathematik philosophisch hinterfragt werden können.
Doch anders als zu Cantors Zeiten löst diese Debatte keine heftigen Reaktionen mehr aus, entzweit nicht die Mathematik. Vielmehr hat sie sich in den vergangenen 150 Jahren als fruchtbar erwiesen. Das Erforschen der Unendlichkeit hat geholfen, Widersprüche in der Mathematik aufzudecken, Lücken zu schließen, ja die Mathematik selbst besser zu verstehen. Dadurch ist die Mathematik heutzutage lebendiger denn je. Die Expedition ins Endlose ist noch lange nicht zu Ende.
Keinem Mathematiker flößt das Unendliche heute noch Furcht ein. In mancher Hinsicht fällt Forschenden der Umgang mit dem Unendlichen sogar leichter als mit dem Endlichen. Sie halten es mit David Hilbert, der vor einem Jahrhundert erklärte: "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können."
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